Bài 5

Cho

a_1,a_2,\ldots

là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử tồn tại số nguyên

N>1

sao cho, với mọi

n\ge N

, số

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}

là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương

M

sao cho

a_m=a_{m+1}

với mọi

m\ge M

Bước 1 trên 8: Lấy hiệu liên tiếp

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Hai tổng chu kỳ dài chỉ khác nhau ở ba hạng tử.

S_n=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{a_{i+1}}+\frac{a_n}{a_1}

Phân tích chi tiết

Với $n>N$ , cả $S_n$ và $S_{n+1}$ đều nguyên. Hiệu của chúng là $T_n=S_{n+1}-S_n=\frac{a_{n+1}}{a_1}-\frac{a_n}{a_1}+\frac{a_n}{a_{n+1}}$ , do đó $T_n\in\mathbb Z$ .