Math Labs

Bài 4

Tìm tất cả các cặp (k,n)(k,n) số nguyên dương sao cho k!=(2n−1)(2n−2)(2n−4)⋯(2n−2n−1).k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}).
Bước 1 trên 6: Đặt tên cho tích và ghi nhận các nghiệm đầu tiên
Bước trướcBước tiếp
Ln=∏i=0n−1(2n−2i),L1=1=1!,L2=6=3!L_n=\prod_{i=0}^{n-1}(2^n-2^i),\qquad L_1=1=1!,\qquad L_2=6=3!
Phân tích chi tiết

Đặt Ln=∏i=0n−1(2n−2i)L_n=\prod_{i=0}^{n-1}(2^n-2^i). Tính trực tiếp, L1=1=1!L_1=1=1! và L2=6=3!L_2=6=3!, nên (k,n)=(1,1)(k,n)=(1,1) và (k,n)=(3,2)(k,n)=(3,2) là các nghiệm. Ta chứng minh không còn cặp số nguyên dương nào khác.