Bài 2

Cho

a

b

c

d

là các số thực thỏa mãn

a \ge b \ge c \ge d > 0

và

a+b+c+d=1

. Chứng minh rằng

(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d < 1

Bước 1 trên 5: Chặn

a^ab^bc^cd^d

bằng bất đẳng thức AM–GM có trọng số

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Coi $a,b,c,d$ vừa là trọng số vừa là giá trị trong AM–GM có trọng số sẽ trực tiếp so sánh trung bình lũy thừa có trọng số $a^ab^bc^cd^d$ với trung bình bậc hai thông thường $a^2+b^2+c^2+d^2$ , vì $a+b+c+d=1$ .

\frac{a\cdot a+b\cdot b+c\cdot c+d\cdot d}{a+b+c+d}\ge \sqrt[a+b+c+d]{a^ab^bc^cd^d}\ \implies\ a^ab^bc^cd^d\le a^2+b^2+c^2+d^2

Phân tích chi tiết

Theo AM–GM có trọng số với các trọng số $a,b,c,d$ (có tổng bằng $1$ ) áp dụng cho chính các giá trị $a,b,c,d$ , ta có $\frac{a\cdot a+b\cdot b+c\cdot c+d\cdot d}{a+b+c+d}\ge a^ab^bc^cd^d$ , tức $a^ab^bc^cd^d\le a^2+b^2+c^2+d^2$ .