Math Labs

Bài 3

Có 4n4n viên sỏi với khối lượng 1,2,3,…,4n1, 2, 3, \ldots, 4n. Mỗi viên sỏi được tô một trong nn màu, và có đúng bốn viên sỏi mỗi màu. Chứng minh rằng có thể chia các viên sỏi thành hai đống sao cho tổng khối lượng của hai đống bằng nhau và mỗi đống chứa đúng hai viên sỏi mỗi màu.
Bước 1 trên 6: Ghép các khối lượng đối xứng
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Ghép khối lượng nhỏ với khối lượng lớn theo quy tắc này luôn cho cùng một tổng, đó chính là tính đối xứng then chốt dẫn dắt toàn bộ cách dựng.

k+(4n+1−k)=4n+1,k=1,2,…,2n.k+(4n+1-k)=4n+1,\qquad k=1,2,\dots,2n.
Phân tích chi tiết

Với mỗi k từ 1 đến 2n, buộc một sợi dây nối viên sỏi khối lượng k với viên sỏi khối lượng 4n+1-k; mỗi cặp được buộc dây đều có tổng khối lượng bằng 4n+1. Khi k chạy từ 1 đến 2n, khối lượng đối tác 4n+1-k chạy từ 4n xuống 2n+1, nên các sợi dây dùng đúng mỗi viên trong 4n viên sỏi một lần, cho tất cả 2n sợi dây.