Math Labs

Bài 3

Cho DD là một điểm nằm trong tam giác nhọn ABCABC với AB>ACAB>AC sao cho ∠DAB=∠CAD\angle DAB=\angle CAD. Điểm EE trên đoạn ACAC thỏa ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD, điểm FF trên đoạn ABAB thỏa ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC, và điểm XX trên đường thẳng ACAC thỏa CX=BXCX=BX. Gọi O1O_1 và O2O_2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADCADC và EXDEXD. Chứng minh rằng các đường thẳng BCBC, EFEF và O1O2O_1O_2 đồng quy.
Bước 1 trên 6: Chứng minh BCEFBCEF nội tiếp qua liên hợp đẳng giác của DD
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Các điều kiện góc xác định EE và FF chính là điều kiện để EE và FF nằm trên các đường tròn đi qua DD và liên hợp đẳng giác của nó.

AE⋅AC=AD⋅AD′=AF⋅ABAE\cdot AC=AD\cdot AD'=AF\cdot AB
Phân tích chi tiết

Gọi D′D' là liên hợp đẳng giác của DD đối với ∠BAC\angle BAC. Các điều kiện góc ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD và ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC làm cho các tứ giác CEDD′CEDD' và BFDD′BFDD' nội tiếp, nên phép tính phương tích tại AA cho AE⋅AC=AD⋅AD′=AF⋅ABAE\cdot AC=AD\cdot AD'=AF\cdot AB; do đó B,C,E,FB,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.