Math Labs

Bài 6

Cho m≥2m\ge2 là một số nguyên, AA là một tập hữu hạn các số nguyên (không nhất thiết dương), và B1,B2,B3,…,BmB_1,B_2,B_3,\ldots,B_m là các tập con của AA. Giả sử với mọi k=1,2,…,mk=1,2,\ldots,m, tổng các phần tử của BkB_k bằng mkm^k. Chứng minh rằng AA chứa ít nhất m/2m/2 phần tử.
Bước 1 trên 6: Viết các bội của mm trong cơ số mm
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Bất kỳ bội nào của mm nhỏ hơn mm+1m^{m+1} đều có thương chia cho mm vừa khít trong mm chữ số cơ số mm.

X=∑i=1mcimi,ci∈{0,1,…,m−1}X=\sum_{i=1}^m c_i m^i,\quad c_i\in\{0,1,\ldots,m-1\}
Phân tích chi tiết

Nếu 0≤X<mm+10\le X<m^{m+1} là bội của mm, thì X/m<mmX/m<m^m, nên X/mX/m có khai triển cơ số mm với nhiều nhất mm chữ số, cho X=∑i=1mcimiX=\sum_{i=1}^m c_im^i với mỗi chữ số ci∈{0,1,…,m−1}c_i\in\{0,1,\ldots,m-1\}.