Bài 5

Nếu $b\ge2p$, thì $p^2\mid b!$, nên $v_p(b!+p)=1$, điều không thể xảy ra với lũy thừa bậc $p$ hoàn hảo $a^p$. Trường hợp $b=2p-1$ bị loại riêng: $(2p-1)!+p=p\big[(p-1)!(p+1)(p+2)\cdots(2p-1)+1\big]$, và định lý Wilson cho thấy biểu thức trong ngoặc $\equiv2\pmod p$ với $p>2$, lại mâu thuẫn với tính chia hết cho $p$; với $p=2$, $3!+2=8$ không phải số chính phương. Do đó $b\le2p-2$.