Math Labs

Bài 2

Cho ABCABC là tam giác nhọn với AB<ACAB<AC. Gọi Ω\Omega là đường tròn ngoại tiếp ABCABC. Gọi SS là điểm chính giữa cung CBCB của Ω\Omega chứa AA. Đường vuông góc từ AA đến BCBC cắt BSBS tại DD và cắt Ω\Omega lần nữa tại E≠AE\neq A. Đường thẳng qua DD song song với BCBC cắt đường thẳng BEBE tại LL. Ký hiệu đường tròn ngoại tiếp tam giác BDLBDL là ω\omega. Gọi ω\omega cắt Ω\Omega lần nữa tại P≠BP\neq B. Chứng minh rằng tiếp tuyến của ω\omega tại PP cắt đường thẳng BSBS trên đường phân giác trong của góc ∠BAC\angle BAC.
Bước 1 trên 6: Đặt tên điểm đích trên đường phân giác
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Điểm đối cực của điểm chính giữa cung S chính là điểm chính giữa cung kinh điển nằm trên đường phân giác trong xuất phát từ A, nên giao điểm của nó với đường thẳng BS chính là điểm mà tiếp tuyến phải đi qua.

H=BS∩AS′,S′=antipode of SH=BS\cap AS',\qquad S'=\text{antipode of }S
Phân tích chi tiết

Vì SS là điểm chính giữa cung CBCB chứa AA, điểm đối cực S′S' của nó qua Ω\Omega là điểm chính giữa cung BCBC không chứa AA, chính là điểm kinh điển mà đường phân giác trong của ∠BAC\angle BAC cắt Ω\Omega. Đặt H=BS∩AS′H=BS\cap AS'. Việc chứng minh khẳng định bây giờ tương đương với việc chỉ ra rằng HH nằm trên tiếp tuyến của ω\omega tại PP, bởi vì HH đã nằm trên cả BSBS lẫn đường phân giác AS′AS'.