Math Labs

Bài 6

Cho ABCABC là một tam giác đều. Gọi A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 là các điểm nằm trong tam giác ABCABC sao cho BA1=A1CBA_1=A_1C, CB1=B1ACB_1=B_1A, AC1=C1BAC_1=C_1B, và ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ. Gọi A2=BC1∩CB1A_2=BC_1\cap CB_1, B2=CA1∩AC1B_2=CA_1\cap AC_1, C2=AB1∩BA1C_2=AB_1\cap BA_1. Chứng minh rằng nếu tam giác A1B1C1A_1B_1C_1 là tam giác thường (không cân), thì các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác AA1A2AA_1A_2, BB1B2BB_1B_2 và CC1C2CC_1C_2 đều đi qua hai điểm chung.
Bước 1 trên 6: Diễn giải điều kiện 480 độ thành một tổng góc gọn
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Vì A1, B1, C1 nằm ở đỉnh của các tam giác cân dựng trên các cạnh, mỗi góc trong ba góc đã cho bằng 180 độ trừ hai lần một góc ở đáy, nên điều kiện 480 độ duy nhất rút gọn thành tổng của chỉ ba góc nhỏ.

α+β+γ=30∘,α=∠A1CB=∠CBA1, β=∠ACB1=∠B1AC, γ=∠C1AB=∠C1BA\alpha+\beta+\gamma=30^\circ,\quad \alpha=\angle A_1CB=\angle CBA_1,\ \beta=\angle ACB_1=\angle B_1AC,\ \gamma=\angle C_1AB=\angle C_1BA
Phân tích chi tiết

Vì BA1=A1CBA_1=A_1C, tam giác BA1CBA_1C cân, nên ∠BA1C=180∘−2α\angle BA_1C=180^\circ-2\alpha với α=∠A1CB=∠CBA1\alpha=\angle A_1CB=\angle CBA_1; tương tự ∠CB1A=180∘−2β\angle CB_1A=180^\circ-2\beta và ∠AC1B=180∘−2γ\angle AC_1B=180^\circ-2\gamma với β,γ\beta,\gamma được định nghĩa tương tự. Giả thiết ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ trở thành 540∘−2(α+β+γ)=480∘540^\circ-2(\alpha+\beta+\gamma)=480^\circ, tức là α+β+γ=30∘\alpha+\beta+\gamma=30^\circ.