Math Labs

Bài 4

Cho tam giác ABCABC có tâm nội tiếp II thỏa mãn AB<AC<BCAB<AC<BC. Gọi XX là một điểm trên đường thẳng BCBC, khác CC, sao cho đường thẳng qua XX song song với ACAC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp. Tương tự, gọi YY là một điểm trên đường thẳng BCBC, khác BB, sao cho đường thẳng qua YY song song với ABAB tiếp xúc với đường tròn nội tiếp. Đường thẳng AIAI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC lần thứ hai tại PP. Gọi KK và LL lần lượt là trung điểm của ACAC và ABAB. Chứng minh rằng ∠KIL+∠YPX=180∘\angle KIL+\angle YPX=180^\circ.
Bước 1 trên 4: Một phép vị tự biến K, I, L thành C, T, B
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Phép vị tự tâm A với tỉ số 2 biến trung điểm của một đoạn thẳng thành đầu mút xa của nó, nên nó biến L thành B, K thành C, và I (trung điểm của A và ảnh phản chiếu T của nó) thành chính T, biến góc KIL trực tiếp thành góc BTC.

∠KIL=∠BTC,T=2I−A\angle KIL=\angle BTC,\qquad T=2I-A
Phân tích chi tiết

Gọi TT là điểm đối xứng của AA qua II, tức là T=2I−AT=2I-A. Phép vị tự tâm AA với tỉ số 22 biến LL (trung điểm của ABAB) thành BB, biến KK (trung điểm của ACAC) thành CC, và biến II thành 2I−A=T2I-A=T. Vì phép vị tự bảo toàn góc, ∠KIL=∠CTB=∠BTC\angle KIL=\angle CTB=\angle BTC.