Math Labs

Bài 2

Cho Ω\Omega và Γ\Gamma là hai đường tròn có tâm lần lượt là MM và NN, sao cho bán kính của Ω\Omega nhỏ hơn bán kính của Γ\Gamma. Giả sử hai đường tròn Ω\Omega và Γ\Gamma cắt nhau tại hai điểm phân biệt AA và BB. Đường thẳng MNMN cắt Ω\Omega tại CC và cắt Γ\Gamma tại DD, sao cho các điểm CC, MM, NN và DD nằm trên đường thẳng đó theo đúng thứ tự này. Gọi PP là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACDACD. Đường thẳng APAP cắt lại Ω\Omega tại E≠AE\ne A. Đường thẳng APAP cắt lại Γ\Gamma tại F≠AF\ne A. Gọi HH là trực tâm tam giác PMNPMN. Chứng minh rằng đường thẳng qua HH song song với APAP tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BEFBEF.
Bước 1 trên 7: Đường thẳng MN là trung trực của AB
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Lấy đối xứng toàn bộ hình qua đường nối hai tâm sẽ hoán đổi hai giao điểm của hai đường tròn, nên C và D nhìn A và B một cách đối xứng.

α:=∠ACD=∠BCD,β:=∠ADC=∠BDC\alpha:=\angle ACD=\angle BCD,\qquad \beta:=\angle ADC=\angle BDC
Phân tích chi tiết

Dây chung ABAB của hai đường tròn cắt nhau luôn vuông góc với đường nối hai tâm, và đường đó chia đôi ABAB; vì C,DC,D nằm trên đường thẳng MNMN nên cả hai đều cách đều AA và BB, tức CA=CBCA=CB và DA=DBDA=DB. Vậy phép đối xứng qua MNMN giữ nguyên C,D,M,NC,D,M,N và hoán đổi A↔BA\leftrightarrow B, nên nó biến ∠ACD\angle ACD thành ∠BCD\angle BCD và ∠ADC\angle ADC thành ∠BDC\angle BDC, cho hai cặp góc bằng nhau ở trên; do đó ∠ACB=2α\angle ACB=2\alpha và ∠ADB=2β\angle ADB=2\beta. Vì △CAB\triangle CAB và △DAB\triangle DAB cân với góc ở đỉnh 2α,2β2\alpha,2\beta, các góc đáy của chúng là ∠CAB=∠CBA=90∘−α\angle CAB=\angle CBA=90^\circ-\alpha và ∠DAB=∠DBA=90∘−β\angle DAB=\angle DBA=90^\circ-\beta.