Bài 3

Gọi

\mathbb{N}

là tập các số nguyên dương. Một hàm số

f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}

được gọi là bonza nếu

f(a)

chia hết

b^a-f(b)^{f(a)}

với mọi số nguyên dương

a

và

b

. Hãy xác định hằng số thực nhỏ nhất

c

sao cho

f(n)\le cn

với mọi hàm bonza

f

và mọi số nguyên dương

n

Bước 1 trên 7: Phép thế đường chéo a = b = n

Bước trước Bước tiếp

f(n)\mid n^n\quad\text{for all }n

Phân tích chi tiết

Ký hiệu $P(a,b)$ cho khẳng định $f(a)\mid b^a-f(b)^{f(a)}$ . Lấy $P(n,n)$ cho $f(n)\mid n^n-f(n)^{f(n)}$ . Vì $f(n)^{f(n)}$ tự nó là bội của $f(n)$ (do $f(n)\ge1$ ), cộng nó trở lại cho thấy $f(n)\mid n^n$ .