Bài 2

Ta dùng góc và độ dài định hướng, nên các điểm trên phần kéo dài không cần tách trường hợp. Đặt $X:=BK\cap AC$ và $Y:=CL\cap AB$. Giả thiết đầu cho $\angle YBC=\angle KBA=\angle ACL=\angle XCB$, nên $BYXC$ nội tiếp theo tiêu chuẩn góc bằng nhau. Quan hệ trung điểm $MN\parallel BC$ (đường trung bình của $\triangle ABC$) cùng với đẳng thức tích cát tuyến của đường tròn thứ nhất cho hai tích trên các đường qua M,Y và N,X bằng nhau, nên $MYXN$ nội tiếp. Tiếp theo, $\angle LBX=\angle LBK=\angle LNC=\angle LNX$ cho thấy $XNLB$ nội tiếp; gọi đường tròn ngoại tiếp là $\omega_B$. Tương tự, $\angle YCK=\angle LCK=\angle BMK=\angle YMK$ cho thấy $YMKC$ nội tiếp; gọi đường tròn ngoại tiếp là $\omega_C$. Các giả thiết nằm hẳn bên trong giữ cho các điểm cần thiết phân biệt, còn góc định hướng xử lý mọi thứ tự trên đường thẳng.