Math Labs

Bài 4

Shan-Yu và Mulan đang chơi một trò chơi. Cho θ\theta là một góc với 0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ mà cả hai người chơi đều biết. Ban đầu, Shan-Yu tạo một tam giác giấy TT với kích thước tùy ý anh ta chọn. Sau đó, họ lặp đi lặp lại các bước sau: nếu TT có ít nhất một góc có số đo đúng bằng θ\theta, thì trò chơi dừng lại và Mulan thắng; ngược lại, Mulan chọn một điểm PP trên chu vi của TT, khác ba đỉnh của nó, rồi cắt một đường thẳng từ PP tới đỉnh đối diện của TT, chia nó thành hai tam giác; Shan-Yu bỏ đi một trong hai tam giác, và tam giác còn lại trở thành TT mới. Với những giá trị thực nào của θ\theta thì Mulan có thể đảm bảo chiến thắng sau hữu hạn bước, bất kể Shan-Yu chơi thế nào?
Bước 1 trên 4: Bất kỳ góc nào bằng kθ đều là thế thắng cho Mulan
Bước trướcBước tiếp
angle kθ (k≥1) ⟹cut into θ+(k−1)θ Mulan wins in at most k−1 cuts\text{angle }k\theta\ (k\ge1)\ \stackrel{\text{cut into }\theta+(k-1)\theta}{\Longrightarrow}\ \text{Mulan wins in at most }k-1\text{ cuts}
Phân tích chi tiết

Ta chứng minh bằng quy nạp theo k≥1k\ge1 rằng Mulan có thể thắng từ bất kỳ tam giác nào có một góc bằng kθk\theta. Với k=1k=1 trò chơi kết thúc ngay. Với k≥2k\ge2, Mulan cắt từ đỉnh của góc kθk\theta tới cạnh đối diện sao cho chia góc đó thành θ\theta và (k−1)θ(k-1)\theta: nếu Shan-Yu giữ mảnh có góc θ\theta, Mulan thắng ngay lập tức; nếu anh ta giữ mảnh có góc (k−1)θ(k-1)\theta, Mulan thắng sau tối đa k−2k-2 nhát cắt nữa theo giả thiết quy nạp.