Bài 5

Cho

\mathbb{R}_{>0}

là tập hợp các số thực dương. Hãy xác định tất cả các hàm số

f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}

sao cho

\sqrt{\tfrac{x^2+f(y)^2}{2}}\ge\tfrac{f(x)+y}{2}\ge\sqrt{xf(y)}

với mọi

x,y\in\mathbb{R}_{>0}

Bước 1 trên 4: Kiểm tra f(x) = x + c thỏa mãn với mọi c ≥ 0

Bước trước Bước tiếp

f(x)=x+c\ (c\ge0):\qquad \sqrt{\frac{x^2+(y+c)^2}{2}}\ge\frac{x+(y+c)}{2}\ge\sqrt{x(y+c)}

Phân tích chi tiết

Với $f(x)=x+c$ ( $c\ge0$ ), ta có $f(x)>0$ trên $\mathbb{R}_{>0}$ và $\tfrac{f(x)+y}{2}=\tfrac{x+f(y)}{2}$ , nên chuỗi bất đẳng thức đã cho trở thành bất đẳng thức chuẩn QM–AM–GM $\sqrt{\tfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\tfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ áp dụng cho hai số thực dương $a=x$ và $b=f(y)=y+c$ .