Lời giải: Trường hợp ba chiều: mọi tập Kakeya trong $\mathbb{R}^3$ đều có số chiều 3 (Wang–Zahl, 2025)

Cố định tỉ lệ $\delta>0$ và gọi $\mathbb{T}$ là họ các ống $\delta\times\delta\times1$ trong $\mathbb{R}^3$ có phương tách-$\delta$ trên $S^2$ — thực chất $N\sim\delta^{-2}$ ống, mỗi phương một ống. Giả thuyết Kakeya rời rạc $K(d)$ khẳng định cận dưới đều $\big|\bigcup_{T\in\mathbb{T}}T\big|\gtrsim\delta^{3-d}$: hợp các ống lớn bằng chừng như thể mỗi ống mang phần của một tập $d$ chiều làm dày tới tỉ lệ $\delta$.

Với tập $E$ có chiều Hausdorff thật $d$, lân cận-$\delta$ có thể tích $\sim\delta^{3-d}$, nên $K(d)$ cho mọi họ ống là phát biểu lại ở mức ống của '$\dim E\ge d$ cho mọi tập Kakeya'. Vì mỗi ống có thể tích $\delta^2$ và có $\sim\delta^{-2}$ ống, rời nhau hoàn toàn sẽ cho thể tích $\sim1$; $K(d)$ định lượng hình học ép chồng lấn được bao nhiêu.

Một chi tiết kỹ thuật ẩn trong phát biểu: Wang–Zahl làm không chỉ với họ tách-phương mà với họ thỏa 'tiên đề Wolff lồi Katz–Tao' — các tiên đề không tập trung nói rằng ống trong mọi tập lồi có đa trùng bị chặn. Độ linh hoạt này cho phép quy nạp theo tỉ lệ áp $K(d)$ cho các họ con sau đổi tỉ lệ không còn tách-phương theo đúng nghĩa đen.