Giả thuyết Sato–Tate

Cho $E$ là một đường cong elliptic trên $\mathbb{Q}$ không có phép nhân phức. Với mỗi số nguyên tố $p$ có phép thu gọn tốt, đặt $a_p = p + 1 - \#E(\mathbb{F}_p)$ và gọi $\theta_p \in [0, \pi]$ là góc duy nhất thỏa mãn $\cos \theta_p = \frac{a_p}{2\sqrt{p}}$. Khi $p$ chạy qua tất cả các số nguyên tố có phép thu gọn tốt, các góc $\theta_p$ phân bố đều trên $[0, \pi]$ theo độ đo nửa đường tròn Sato–Tate $\frac{2}{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta$.

Tiếp nối quy giản của Jean-Pierre Serre đưa tính phân bố đều về tính khác không và thác triển giải tích của các hàm $L$ lũy thừa đối xứng $L(\mathrm{Sym}^n E, s)$ trên đường thẳng $\mathrm{Re}(s) = 1$, Laurent Clozel, Michael Harris, Nicholas Shepherd-Barron và Richard Taylor (2008) đã chứng minh giả thuyết cho các đường cong elliptic trên trường thực toàn phần có bất biến $j$ không nguyên. Năm 2011, Thomas Barnet-Lamb, David Geraghty, Michael Harris và Richard Taylor đã gỡ bỏ các giả thiết kỹ thuật còn lại bằng cách chứng minh tính tự đẳng cấu tiềm năng của $\mathrm{Sym}^n E$ với mọi $n \ge 1$ nhờ một họ đa tạp Calabi–Yau và các định lý nâng tính modular chiều cao.