Lời giải: Lời giải bài toán xếp cầu chiều 8 và 24 của Viazovska bằng dạng modular

Hằng số xếp cầu $\Delta_d$ là supremum, trên mọi cách xếp các quả cầu đơn vị không giẫm lên nhau trong $\mathbb{R}^d$, của phần không gian được phủ kín. Nó chỉ mới được biết chính xác cho $d=1$ (tầm thường), $d=2$ (cách xếp lục giác, Thue và Fejes Tóth), và $d=3$ (cách xếp lập phương tâm mặt, chứng minh năm 1998 của Hales cho phỏng đoán Kepler — một trong những chứng minh phức tạp nhất từng hoàn thành). Trong mọi chiều cao hơn, chỉ có các chặn tồn tại.

Các ứng viên trong chiều 8 và 24 từ lâu đã được nhận diện: dàn gốc $E_8$ cho mật độ $\pi^4/384\approx0.2537$ trong $\mathbb{R}^8$, và dàn Leech $\Lambda_{24}$ cho $\pi^{12}/12!\approx0.00193$ trong $\mathbb{R}^{24}$. Phương pháp quy hoạch tuyến tính năm 2003 của Cohn và Elkies tạo ra các cận trên số học trong phạm vi thừa số khoảng $1.000001$ so với các mật độ này — bằng chứng mạnh mẽ cho tính tối ưu, nhưng một cận không phải là một định lý.

Năm 2016, Viazovska chứng minh $\Delta_8=\pi^4/384$ bằng cách xây dựng 'hàm ma thuật' mà Cohn và Elkies đã phỏng đoán sự tồn tại (Bước 1–5); một tuần sau bà cùng Cohn, Kumar, Miller và Radchenko phỏng theo nó để chứng minh $\Delta_{24}=\pi^{12}/12!$ (Bước 6). Các chiều 1, 2, 3, 8, 24 vẫn là những trường hợp duy nhất được giải — một danh sách thưa thớt đáng kinh ngạc.