Bất đẳng thức Schur ($r=1$)

Bước 1: Rút gọn nhờ đối xứng. Biểu thức $a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)$ đối xứng theo $a,b,c$, nên không mất tổng quát giả sử $a \ge b \ge c \ge 0$.

Bước 2: Nhóm hai số hạng đầu. Nhóm $a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) = (a-b)\big[a(a-c) - b(b-c)\big]$, đưa nhân tử chung $(a-b)$ ra ngoài từ cả hai số hạng (lưu ý $b(b-a)(b-c) = -(a-b)\cdot b(b-c)$).

Bước 3: Rút gọn dấu ngoặc. Khai triển $a(a-c) - b(b-c) = a^2 - ac - b^2 + bc = (a^2-b^2) - c(a-b) = (a-b)(a+b) - c(a-b) = (a-b)(a+b-c)$.

Bước 4: Gộp lại. Thay lại, các số hạng nhóm bằng $(a-b)\cdot(a-b)(a+b-c) = (a-b)^2(a+b-c)$. Vậy toàn bộ biểu thức bằng $(a-b)^2(a+b-c) + c(a-c)(b-c)$ (số hạng cuối chính là số hạng gốc thứ ba, không đổi).

Bước 5: Kiểm tra dấu từng phần. Vì $a \ge b \ge c \ge 0$: $(a-b)^2 \ge 0$ luôn đúng. Về dấu $a+b-c$: vì $a \ge c$, ta có $a - c \ge 0$, và $b \ge 0$, nên $a+b-c = (a-c)+b \ge 0$. Vậy $(a-b)^2(a+b-c) \ge 0$. Với phần thứ hai: $c \ge 0$, $a-c \ge 0$ (vì $a\ge c$), và $b - c \ge 0$ (vì $b \ge c$), nên $c(a-c)(b-c) \ge 0$ là tích ba số không âm.

Bước 6: Kết luận. Toàn bộ biểu thức là tổng hai số hạng không âm, $(a-b)^2(a+b-c) + c(a-c)(b-c) \ge 0$, chứng minh bất đẳng thức Schur với $r=1$. Đẳng thức đòi hỏi cả hai phần triệt tiêu: hoặc $a=b$ (làm số hạng đầu bằng $0$) cùng với $c(a-c)(b-c)=0$ (buộc nếu thêm $a=c$, cho $a=b=c$, hoặc $c=0$ cho $a=b, c=0$), khớp điều kiện đẳng thức đã nêu.