Công thức đếm không điểm (valence)

Cố định miền cơ bản chuẩn $\mathcal{F}=\{\tau\in\mathbb{H} : |\operatorname{Re}(\tau)|\le \tfrac12,\ |\tau|\ge 1\}$, với các đỉnh $\rho=e^{i\pi/3}$, $\rho+1$, và $i$ trên biên dưới, kéo dài lên tới đỉnh (cusp) tại $\infty$. Cắt cụt nó ở độ cao $\operatorname{Im}(\tau)=T$ với $T$ lớn, và khoét lõm biên bằng các cung tròn nhỏ quanh những không điểm của $f$ tình cờ nằm ngay trên $\partial\mathcal{F}$. Gọi đường viền thu được là $C$. Vì $f$ chỉ có hữu hạn không điểm trong miền bị chặn này, nguyên lý argument cho $\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f'(\tau)}{f(\tau)}\,d\tau$ bằng số không điểm của $f$ nằm hẳn bên trong $C$.

Bây giờ tính từng phần của $\partial\mathcal{F}$. Hai cạnh đứng $\operatorname{Re}(\tau)=-\tfrac12$ và $\operatorname{Re}(\tau)=\tfrac12$ được đồng nhất bởi $T:\tau\mapsto\tau+1$, và vì $f(\tau+1)=f(\tau)$, hàm dưới dấu tích phân $f'/f$ cũng tuần hoàn chu kỳ $1$; đi theo hai chiều ngược nhau (một cạnh đi lên, cạnh được đồng nhất đi xuống), hai tích phân này triệt tiêu hoàn toàn nhau. Đây là chỗ đối xứng tịnh tiến phát huy tác dụng: nó loại bỏ trọn hai cạnh của đường viền miễn phí.

Cạnh trên ở độ cao $T$ khép lại khi $T\to\infty$: viết $f=\sum_{n\ge m}a_nq^n$ với $m=\operatorname{ord}_\infty(f)$ và $a_m\ne0$, ta có $f'/f \to 2\pi i\,m$ khi $q\to0$, nên cạnh này đóng góp $-\operatorname{ord}_\infty(f)$ vào tổng (dấu trừ do hướng đường viền, đi sang trái ở phía trên).

Còn lại là biên dưới: cung từ $\rho$ tới $i$ và cung từ $i$ tới $\rho+1$ dọc $|\tau|=1$, cộng hai đoạn đứng ngắn từ $\rho$ lên góc trên-trái và từ $\rho+1$ xuống. Phép nghịch đảo $S:\tau\mapsto-1/\tau$ ánh xạ cung qua $i$ vào chính nó (vì $S(i)=i$) và hoán đổi hai nửa cung tròn; vì $S$ cố định $i$ và quay một lân cận của $i$ đi góc $\pi$ (bộ ổn định của $i$ trong $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$ có cấp $2$), phần khoét lõm nhỏ quanh $i$ chỉ đóng góp $-\tfrac12\operatorname{ord}_i(f)$ thay vì trọn $-\operatorname{ord}_i(f)$: chỉ "nửa" thặng dư đầy đủ thực sự được quét trước khi đối xứng-$S$ đồng nhất phần còn lại. Tương tự $\rho$ và $\rho+1=S T^{-1}(\rho)$ được đồng nhất với bộ ổn định cấp $3$ trong $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$ (sinh bởi $ST$, cấp $3$), nên phần khoét lõm gộp của chúng đóng góp $-\tfrac13\operatorname{ord}_\rho(f)$. Bất kỳ không điểm khác $P$ trên phần còn lại, tổng quát, của cung có bộ ổn định tầm thường và đóng góp trọn $-\operatorname{ord}_P(f)$.

Cộng mọi phần lại: hai cạnh đứng triệt tiêu, cạnh trên cho $-\operatorname{ord}_\infty(f)$, các góc cho $-\tfrac12\operatorname{ord}_i(f)-\tfrac13\operatorname{ord}_\rho(f)$, và mọi không điểm biên còn lại $P$ cho $-\operatorname{ord}_P(f)$. Nhưng $\frac{1}{2\pi i}\oint_C f'/f\,d\tau$ cũng phải bằng $\tfrac{k}{12}$: hằng số này đến từ việc theo dõi thừa số automorphy trọng số $k$, $(c\tau+d)^k$, buộc tổng độ quay của $\arg f$ quanh hai cung góc được đồng nhất (liên hệ bởi $S$, biến $d\tau\mapsto \tau^{-2}d\tau$, cuốn theo góc quay do $k$ chi phối) đóng góp đúng $k/12$ ròng — cùng hằng số xuất hiện vì diện tích hyperbolic của $\mathcal{F}$ là $\pi/3$ và $X(1)$ có đúng một đỉnh và các điểm elliptic cấp $2,3$, đó là công thức Riemann–Hurwitz làm nền cho số $12$ trong công thức. Cân bằng hai cách tính cùng một tích phân đường viền và chuyển mọi số hạng bậc không điểm về một phía, ta được đúng $\operatorname{ord}_\infty(f)+\tfrac12\operatorname{ord}_i(f)+\tfrac13\operatorname{ord}_\rho(f)+\sum_{P}\operatorname{ord}_P(f) = \tfrac{k}{12}$.