Định lý Chen (1973)

Chứng minh là một lập luận sàng có trọng số. Cố định số chẵn $n$ lớn và xét, với mỗi số nguyên tố $p\le n$, liệu $n-p$ có ít ước nguyên tố hay không. Một sàng ngây thơ (sàng cận trên Selberg) có thể chỉ ra rằng số các $p\le n$ mà $n-p$ có nhiều nhất hai ước nguyên tố không quá nhỏ — nhưng chỉ dùng sàng đơn thuần thì không thể phân biệt "$n-p$ là số nguyên tố" với "$n-p$ có $3,4,\dots$ ước nguyên tố" đủ mạnh để kết luận điều gì.

Công cụ then chốt của Chen, sàng có trọng số (hay "nguyên lý chuyển đổi"), gán cho mỗi ứng viên $p$ một trọng số dựng từ hai mức sàng khác nhau: một sàng cận trên cho biến cố "xấu" rằng $n-p$ có từ ba ước nguyên tố trở lên dưới ngưỡng $z\approx n^{1/3}$, và một sàng cận dưới cho tổng số $p\le n$ mà $n-p$ nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên tố dưới $z$. Lấy vế thứ hai trừ đi một bội số có trọng số thích hợp của vế thứ nhất tạo ra một tổng tổ hợp mà có thể chứng minh là dương khi $n$ đủ lớn — cho thấy tồn tại $p$ sao cho $n-p$ có nhiều nhất $2$ ước nguyên tố trên ngưỡng, tức $n-p$ là số nguyên tố hoặc gần nguyên tố bậc 2.

Để "chứng minh được là dương", cần ước lượng một dạng song tuyến đến từ các số hạng dư của sàng, dùng các kết quả kiểu Bombieri–Vinogradov về phân bố số nguyên tố trong cấp số cộng với môđun lớn (trung bình trên các môđun tới khoảng $n^{1/2-\varepsilon}$); đây là đầu vào giải tích sâu sắc nhất, và cũng là lý do định lý cần $n$ "đủ lớn" thay vì đúng với mọi $n$ ngay từ đầu.

Định lý dừng lại ở "số nguyên tố hoặc gần nguyên tố bậc 2" chứ không phải "số nguyên tố hoặc số nguyên tố" vì các phương pháp sàng gặp phải vấn đề chẵn lẻ (parity problem): theo cách dựng, các trọng số sàng chuẩn không thể phân biệt số có số lượng ước nguyên tố chẵn với số có số lượng ước nguyên tố lẻ, nên chúng không bao giờ có thể sàng xuống tới riêng số nguyên tố từ kiểu lập luận này — gần nguyên tố bậc 2 là mục tiêu sắc bén nhất mà lý thuyết sàng hiện có thể đạt tới.