Nghiệm yếu toàn cục của Leray (1934)

Xấp xỉ phương trình bằng phép chiếu Galerkin: chọn các hàm riêng của toán tử Stokes làm cơ sở, chiếu phương trình lên không gian sinh bởi $n$ hàm đầu tiên, rồi giải hệ phương trình vi phân thường hữu hạn chiều thu được để có nghiệm xấp xỉ $u_n$; lý thuyết phương trình vi phân thường chuẩn cho nghiệm tồn tại trên một khoảng thời gian ngắn.

Nhân phương trình Galerkin với chính $u_n$. Các số hạng phi tuyến và áp suất triệt tiêu (chúng trực giao với $u_n$ khi dùng ràng buộc không phân kỳ), để lại đẳng thức năng lượng $\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u_n\|_{L^2}^{2}+\nu\|\nabla u_n\|_{L^2}^{2}=0$. Lấy tích phân theo thời gian cho thấy $u_n$ bị chặn đều trong $L^{\infty}(L^2)\cap L^2(H^1)$ theo $n$, và đặc biệt nghiệm thời gian ngắn mở rộng được ra toàn bộ thời gian.

Các chặn đều này cho phép trích ra một dãy con của $u_n$ hội tụ yếu-* trong $L^{\infty}(L^2)$ và hội tụ yếu trong $L^2(H^1)$ về một giới hạn $u$. Bổ đề compact Aubin–Lions nâng điều này thành hội tụ mạnh trong $L^2$ trên các miền thời gian-không gian bị chặn, đúng thứ cần để chuyển qua giới hạn ở số hạng phi tuyến bậc hai $(u_n\cdot\nabla)u_n\to(u\cdot\nabla)u$.

Chuyển qua giới hạn trong dạng yếu của các phương trình Galerkin cho thấy $u$ thoả mãn phương trình Navier-Stokes theo nghĩa phân phối, và tính nửa liên tục dưới yếu của chuẩn khi qua giới hạn giữ nguyên bất đẳng thức năng lượng. $u$ này chính là nghiệm yếu toàn cục của Leray; việc nó có duy nhất và trơn hay không chính là câu hỏi thiên niên kỷ còn mở.