Tổng và hiệu hai lập phương

Bước 1 (chứng minh đại số bằng khai triển vế phải). Khai triển $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3$. Các hạng tử giữa $a^2b$ và $-a^2b$ triệt tiêu nhau, cũng như $ab^2$ và $-ab^2$, chỉ còn lại đúng $a^3-b^3$.

Bước 2 (chứng minh hình học bằng thể tích). Lấy một khối lập phương cạnh $a$ (thể tích $a^3$) rồi bỏ đi một khối lập phương nhỏ hơn cạnh $b$ ở một góc (thể tích $b^3$); khối còn lại có thể tích $a^3-b^3$. Khối còn lại này có thể cắt thành ba tấm hình hộp chữ nhật, mỗi tấm dày $a-b$: tấm $a\times a\times(a-b)$, tấm $a\times b\times(a-b)$, và tấm $b\times b\times(a-b)$. Tổng thể tích của chúng là $(a-b)a^2+(a-b)ab+(a-b)b^2=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, khớp đúng với thể tích còn lại.

Bước 3 (phiên bản tổng lập phương, bằng phép thế). Thay $b$ bởi $-b$ trong hằng đẳng thức hiệu lập phương được $a^3-(-b)^3=(a-(-b))(a^2+a(-b)+(-b)^2)$, rút gọn thành $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.