Công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Gọi $H(x_H,y_H)$ là hình chiếu vuông góc của $M_0(x_0,y_0)$ lên $\Delta$. Vì $\overrightarrow{HM_0}$ cùng phương với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a,b)$ nên tồn tại số thực $t\in\mathbb{R}$ sao cho $\overrightarrow{HM_0}=t\vec{n}=(ta,tb)$, suy ra $x_H=x_0-ta$ và $y_H=y_0-tb$.

Do $H$ nằm trên $\Delta$ nên tọa độ của nó thỏa mãn $ax_H+by_H+c=0$. Thay $x_H$ và $y_H$ vào ta được $a(x_0-ta)+b(y_0-tb)+c=0$, hay $ax_0+by_0+c-t(a^2+b^2)=0$.

Giải tìm $t$ cho ta $t=\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$. Vậy khoảng cách cần tìm là $d(M_0,\Delta)=|\overrightarrow{HM_0}|=|t|\,|\vec{n}|=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.