解法：林德曼证明 $\pi$ 的超越性解决化圆为方问题(1882年)

这个古典问题至少可追溯到公元前5世纪(据说阿那克萨哥拉在狱中研究过它):要求仅用尺规作出与给定圆等面积的正方形。将半径规范化为 $1$,圆面积为 $\pi$,故所求正方形的边 $s$ 满足 $s^2 = \pi$,即 $s = \sqrt{\pi}$。于是几何任务归结为从单位线段作出长度为 $\sqrt{\pi}$ 的线段。

旺泽尔1837年的定理把"可作出的线段"转化为代数:每个可作图长度都位于 $\mathbb{Q}$ 的某个二次扩张塔的顶端,因此在 $\mathbb{Q}$ 上是代数的——某个非零有理多项式的根——且其次数是 $2$ 的幂。故化圆为方仅当 $\sqrt{\pi}$ 为代数数时才可能。由于代数数全体构成一个在多项式运算下封闭的域,$\sqrt{\pi}$ 是代数的当且仅当其平方 $\pi$ 是代数的:若 $\alpha$ 满足 $P(x) = 0$,则 $\alpha^2$ 是代数的,因为 $\mathbb{Q}(\alpha^2) \subseteq \mathbb{Q}(\alpha)$ 是有限扩张;反之,若 $\pi$ 满足 $Q(x)=0$,则 $\sqrt{\pi}$ 满足 $Q(x^2)=0$。

于是一切归结为关于单个实数的问题:$\pi$ 是代数数,还是超越数——即不满足任何有理系数多项式方程?勒让德在1790年代曾猜测 $\pi^2$ 无理,兰伯特在1761年证明了 $\pi$ 无理,但超越性要强得多:它必须同时排除所有次数的多项式。费迪南德·冯·林德曼于1882年解决了它,所做的是扩展九年前夏尔·埃尔米特用于 $e$ 的方法。