Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2012
Đề thi
- Bài 1Cho P là điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của AP với BC, BP với CA và CP với AB. Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC bằng 6 nếu mỗi tam giác PFA, PDB và PEC đều có diện tích bằng 1.Các cách giải: 1
- Bài 2Điền vào mỗi ô của lưới vuông 2012 nhân 2012 một số thực trong đoạn từ 0 đến 1. Chia lưới thành hai hình chữ nhật không rỗng gồm các ô bằng một đường thẳng song song với một cạnh của lưới. Giả sử với mọi cách chia như vậy, ít nhất một hình chữ nhật có tổng không quá 1. Tìm tổng lớn nhất có thể của tất cả các số đã điền.Các cách giải: 1
- Bài 3Tìm tất cả các cặp (p,n), trong đó p là số nguyên tố và n là số nguyên dương, sao cho (n^p+1)/(p^n+1) là số nguyên.Các cách giải: 1
- Bài 4Cho ABC là tam giác nhọn. Gọi D là chân đường vuông góc từ A xuống BC, M là trung điểm BC và H là trực tâm của ABC. Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp Gamma của ABC với tia MH, và F là giao điểm còn lại của đường ED với Gamma. Chứng minh BF/CF = AB/AC, trong đó XY là độ dài đoạn thẳng XY.Các cách giải: 1
- Bài 5Cho n là số nguyên không nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng nếu các số thực a_1, a_2, ..., a_n thỏa mãn a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=n thì tổng 1/(n-a_i a_j), lấy trên mọi 1≤i<j≤n, không lớn hơn n/2.Các cách giải: 1