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ヴォーン・ジョーンズ

1952–2020, ニュージーランド、ギズボーン

解析学位相幾何学(トポロジー)フィールズ賞 1990

部分因子理論を創始し、結び目不変量のジョーンズ多項式を発見したニュージーランドの数学者。1990年フィールズ賞受賞。

ヴォーン・フレデリック・ランダル・ジョーンズは1952年にニュージーランドのギズボーンに生まれ、オークランド大学で学んだ後、1979年にジュネーヴ大学でアンドレ・エフリゲールのもと、フォン・ノイマン代数の指数理論に関する研究で博士号を取得した。アメリカでの職を経て、1985年にカリフォルニア大学バークレー校に着任した。

1983年、ジョーンズは II1II_1 因子の部分因子の指数が4以上であるか、離散的な数列 4cos⁡2(π/n)4\cos^2(\pi/n) の値をとるかのいずれかであることを証明した——しかもこれらの値はすべて実現される。基本構成を繰り返して生成される代数の塔を解析する中で、彼は組紐群の表現に到達し、マルコフ跡と組み合わせて1984年にジョーンズ多項式を生み出した。この結び目不変量の発見は結び目理論に衝撃を与え、ウィッテン、レシェティヒン–トゥラエフ、ホヴァノフらの仕事を通じて量子トポロジーという分野全体を開いた。

ジョーンズは1990年京都のICMでフィールズ賞を受賞し、式典でオールブラックスのラグビーシャツを着たことで有名である。その後ヴァンダービルト大学に移り、ニュージーランド数学研究所を創設し、2020年に亡くなるまで部分因子、平面代数、および共形場の理論との関連の研究を続けた。

所属先: カリフォルニア大学バークレー校, ヴァンダービルト大学

ニュージーランド, アメリカ合衆国

受賞対象の研究

フィールズ賞 1990ジョーンズはフォン・ノイマン代数の部分因子に対する指数定理を発見した:II1II_1 型部分因子の指数は4未満では離散集合 {4cos⁡2(π/n)}\{4\cos^2(\pi/n)\} に制約されるという、まったく予期しない剛性であった。随伴する代数の塔をたどることで彼は組紐群の表現に到達し、マルコフ跡の構成を通じてジョーンズ多項式 VL(t)V_L(t) ——単純なスケイン関係式で計算でき、それ以前のどの不変量も区別できなかった結び目を区別する新しい結び目・絡み目不変量——に到達した。この不変量とその子孫(ホヴァノフ・ホモロジー、TQFT、量子群を経て)は低次元トポロジーを刷新し、量子トポロジーという分野を創出した。メダルはまた彼の基礎的な部分因子理論も評価した。それは後に位相的量子場の理論と共形場の理論を符号化することが示された。

業績（図書館ページへのリンク）

図書館の項目結び目理論ジョーンズ多項式は結び目理論に革命をもたらし、量子トポロジーを切り開いた。図書館の項目作用素論彼の指数定理と部分因子理論はフォン・ノイマン代数の理論の礎石である。大問題結び目解消問題（自明な結び目の認識計算量）ジョーンズ多項式が自明な結び目を検出するか——つまり VK(t)=1V_K(t) = 1 をみたす結び目が必ず自明か——は彼の不変量に直接由来する有名な未解決問題である。大問題体積予想（結び目理論）この予想は、結び目の有色ジョーンズ多項式の漸近的増大度とその補空間の双曲体積を結びつける。