Lời giải: Kahn và Kalai bác bỏ giả thuyết Borsuk qua định lý Frankl–Wilson

Năm 1933, Borsuk đặt giả thuyết rằng mọi tập bị chặn $S \subset \mathbb{R}^n$ đều có thể chia thành $n+1$ mảnh, mỗi mảnh có đường kính nhỏ hơn thực sự so với $d(S) = \max_{x,y \in S} \|x-y\|_2$. Chặn dưới $f(n) \ge n+1$ là dễ (các đỉnh của một đơn hình đều, hay một hình cầu qua định lý Borsuk–Ulam, cả hai đều cần nhiều mảnh như vậy); giả thuyết được chứng minh đúng ở các chiều $n=2$ và $n=3$, và với mọi vật lồi đối xứng qua tâm hay trơn ở mọi chiều, đó là lý do nó được tin tưởng rộng rãi.

Trước Kahn và Kalai, vài tác giả đã gợi ý rằng một phản ví dụ, nếu tồn tại, sẽ đến từ tổ hợp chứ không phải hình học trơn. Năm 1965, Ludwig Danzer chỉ ra rằng một tập hữu hạn các vectơ $\{0,1\}$ có trọng số cố định không thể được phủ bởi $(1.003)^d$ hình cầu có đường kính nhỏ hơn, một gợi ý đầu tiên rằng các cấu hình tổ hợp chiều cao chống lại việc chia thành ít mảnh; Paul Erdős và David Larman độc lập nêu ra khả năng về một phản ví dụ thực sự theo hướng này.