Lời giải: Phương pháp đa thức giải quyết bài toán tập mũ (Croot-Lev-Pach, Ellenberg-Gijswijt, 2016)

Tập cap là tập con $A\subset\mathbb{F}_3^n$ không chứa ba điểm khác nhau $x,y,z\in A$ thỏa $x+y+z=0$; vì $-x=x+x$ chỉ đúng trong đặc số $3$, điều này tương đương với việc không có ba phần tử khác nhau tạo thành một đường thẳng affine (hay cấp số cộng ba số hạng $x,x+d,x+2d$ với $d\ne0$). Ký hiệu $r_3(\mathbb{F}_3^n)=\max|A|$.

Cận tầm thường $|A|\le3^n$ là khẳng định mũ duy nhất trong nhiều thập kỷ: Meshulam (1995) chứng minh $|A|=O(3^n/n)$ bằng phân tích Fourier trên $\mathbb{F}_3^n$, và Bateman–Katz (2012) đẩy lên $O(3^n/n^{1+\epsilon})$ — vẫn chỉ kém cận tầm thường một thừa số đa thức. Về phía dưới, các cấu hình lớn nhất đã biết (Edel, cải tiến bởi Tyrell) chỉ đạt khoảng $2.2^n$, nên ngay cả câu hỏi định tính 'tốc độ tăng có thực sự nhỏ hơn $3$ không?' cũng còn mở.

Ellenberg–Gijswijt (2017), dựa trên đột phá phương pháp đa thức mới của Croot–Lev–Pach (2016) cho $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^n$, trả lời câu hỏi đó: $|A|\le O(c^n)$ với $c=3e^{-I(2/3)}\approx2.756$ tường minh. Phần còn lại của chứng minh biến một tập cap thành bài toán về đa thức triệt tiêu và để phép đếm chiều làm việc.