Lời giải: Định lý Gauss–Wantzel: đa giác đều dựng được qua các trường chia đường tròn

Dựng một đa giác đều $n$ cạnh nội tiếp trong đường tròn cho trước bằng thước kẻ và compa tương đương chia đường tròn thành $n$ cung bằng nhau — tức dựng góc ở tâm $2\pi/n$, hay trong hệ tọa độ, là độ dài thực $\cos(2\pi/n)$. Trong mặt phẳng phức điều này nghĩa là dựng căn nguyên thủy của đơn vị $\zeta_n = e^{2\pi i/n}$. Bộ Cơ sở của Euclid đã chỉ ra cách dựng tam giác đều, hình vuông, và ngũ giác đều ($n = 3, 4, 5$), và cách nhân đôi số cạnh bằng phép chia đôi góc ($6, 8, 10, 12, 16, \ldots$), cũng như kết hợp các trường hợp nguyên tố cùng nhau ($n = 15$ từ $3$ và $5$). Trong hơn hai nghìn năm, không có số nguyên tố lẻ mới nào được thêm vào danh sách đó.

Ngày 30 tháng 3 năm 1796, chàng thanh niên 19 tuổi Carl Friedrich Gauss khám phá ra rằng đa giác đều $17$ cạnh dựng được — đa giác đều dựng được có số cạnh lẻ mới đầu tiên kể từ thời cổ đại. Kết quả xuất hiện trong §VII của tác phẩm Disquisitiones Arithmeticae (1801) của ông. Khám phá không tiến hành bằng thử nghiệm hình học: Gauss dịch bài toán sang đại số của phương trình cyclotomic $x^{16} + x^{15} + \cdots + x + 1 = 0$, có bậc là $\varphi(17) = 16 = 2^4$.

Sự trùng hợp số học $17 - 1 = 16 = 2^4$ là trục xoay của toàn bộ khám phá: vì $16$ là một lũy thừa của $2$, $16$ nghiệm có thể phân hoạch thành các nửa liên tiếp — hai chu kỳ $8$, rồi bốn chu kỳ $4$, rồi tám chu kỳ $2$ — mỗi tầng thỏa một phương trình bậc hai với các hệ số xác định bởi tầng trước. Các bước còn lại lần theo hệ thống này từ công thức tường minh của Gauss tới tiêu chuẩn Gauss–Wantzel tổng quát cho mọi $n$.