Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, nêu năm 1742

Giả thuyết Goldbach

Còn mởLandau #1

Mọi số nguyên chẵn $n>2$ đều có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố: $n = p_1 + p_2$ .

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết Goldbach (hai phần/mạnh) vẫn còn để ngỏ. Kết quả vô điều kiện mạnh nhất hướng tới nó vẫn là định lý Chen (1973): mọi số chẵn đủ lớn đều là $p + P_2$ , một số nguyên tố cộng với một số có nhiều nhất hai thừa số nguyên tố. Giả thuyết ba phần (mọi số lẻ $>5$ là tổng ba số nguyên tố) đã được chứng minh trọn vẹn: chuỗi bản thảo arXiv năm 2012–2013 của Helfgott (đỉnh điểm là The ternary Goldbach conjecture is true, arXiv:1312.7748) đang được hoàn thiện thành chuyên khảo The Ternary Goldbach Problem (Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press), và kết quả được công nhận là một định lý hoàn chỉnh, dù nó không suy ra trường hợp hai phần. Về mặt tính toán, giả thuyết hai phần đã được xác minh cho mọi số chẵn tới $4\times10^{18}$ (Oliveira e Silva, Herzog, Pardi, 2014), không tìm thấy phản ví dụ nào.

Kết quả tốt nhất đã biết

Định lý Chen (1973): mọi số chẵn đủ lớn đều là $p + P_2$ (một số nguyên tố cộng một tích của nhiều nhất hai số nguyên tố).
Giả thuyết Goldbach ba phần được chứng minh trọn vẹn vô điều kiện cho mọi số lẻ $n>5$ (Helfgott, 2013, arXiv:1312.7748; chuyên khảo sắp xuất bản trong Annals of Mathematics Studies).
Đã được máy tính xác minh cho mọi số chẵn tới $4\times10^{18}$ , không tìm thấy ngoại lệ nào (Oliveira e Silva, Herzog, Pardi, 2014).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Phương pháp sàng (nguyên lý chuyển đổi của Chen)	Đưa mọi số chẵn lớn về dạng $p + P_2$ , gần trúng đích, chỉ dư nhiều nhất một thừa số nguyên tố.	Vấn đề chẵn lẻ (parity problem) trong lý thuyết sàng ngăn không cho phân biệt số nguyên tố với tích hai số nguyên tố chỉ bằng các phương pháp này, nên $P_2$ không thể ép về một số nguyên tố đơn.
Phương pháp vòng tròn (Hardy–Littlewood / Vinogradov)	Giải quyết trọn vẹn, vô điều kiện trường hợp ba số nguyên tố cho mọi số lẻ $n>5$ (Helfgott, 2013), bằng cách kiểm soát tường minh các cung chính và cung phụ.	Để khớp một tổng với đúng hai số nguyên tố cần kiểm soát cung phụ tinh vi hơn nhiều so với phương pháp hiện có, nên nó không vươn tới được trường hợp hai phần.
Xác minh máy tính quy mô lớn	Xác nhận không có phản ví dụ nào dưới $4\times10^{18}$ (Oliveira e Silva, Herzog, Pardi, 2014).	Không bao giờ có thể chứng minh một phát biểu về vô hạn số chẵn, chỉ loại trừ được phản ví dụ dưới ngưỡng đã kiểm tra.

Câu hỏi còn mở

Liệu kết quả $p + P_2$ của Chen có thể được đẩy xuống thành hai số nguyên tố thực sự hay không, hay vấn đề chẵn lẻ trong lý thuyết sàng là một rào cản căn bản đòi hỏi ý tưởng thực sự mới?
Liệu việc kiểm soát cung chính phát triển cho trường hợp ba phần, kết hợp với đầu vào sàng mới, có thể được điều chỉnh để tiến bộ trên giả thuyết hai phần?

Các chứng minh

Tài liệu tham khảo

Chen Jingrun (1973). On the Representation of a Larger Even Integer as the Sum of a Prime and the Product of at Most Two Primes · DOI:10.1142/9789812776600_0021
Harald Andrés Helfgott (2013). The ternary Goldbach conjecture is true · arXiv:1312.7748 [preprint, chưa bình duyệt]
Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi (2014). Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to $4\cdot10^{18}$ · DOI:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1