Lời giải: Sàng có trọng số và nguyên lý chuyển đổi của Chen: mọi số chẵn lớn đều là $p + P_2$ (1966/1973)

Biểu diễn cộng tính $N = p + q$, trong đó $p$ là số nguyên tố và $q = q_1$ hoặc $q = q_1 q_2$ có nhiều nhất hai thừa số nguyên tố (ký hiệu $P_2$), là xấp xỉ vô điều kiện sâu sắc nhất đã biết cho giả thuyết Goldbach. Hướng tiếp cận lý thuyết sàng chuẩn mực xét $\mathcal{A} = \{N-p : p \le N\}$. Các sàng tổ hợp chuẩn gán trọng số $\lambda_d$ cho các ước số $d \mid P(z)$, với $P(z) = \prod_{p < z} p$, nhằm loại bỏ các bội của số nguyên tố nhỏ dưới $z$. Tuy nhiên, hiện tượng chẵn lẻ của Selberg tạo thành một rào cản căn bản: các trọng số sàng chỉ dựa trên việc cắt cụt hàm Möbius không thể phân biệt số có số lẻ thừa số nguyên tố với số có số chẵn thừa số nguyên tố. Đối với một sàng tuyến tính chiều 1 có mức phân bố $D$, hàm chặn dưới tối ưu $f(s)$, với $s = \log D / \log z$, triệt tiêu đồng nhất khi $s \le 2$. Đặt $z = N^{1/2}$ để cô lập số nguyên tố trong các $N-p$ sẽ buộc $s = 1$ khi $D = N^{1/2}$, khiến chặn dưới của sàng biến mất hoàn toàn.

Vì trở ngại này, các nhà toán học đã tìm kiếm các xấp xỉ hầu nguyên tố $N = p + P_K$. Alfréd Rényi (1947) lần đầu tiên chứng minh $N = p + P_K$ với một hằng số lớn $K$ nhờ các ý tưởng sơ khai về sàng lớn. Theodor Estermann đã chứng minh $N = p + P_6$ dưới GRH năm 1932, và Vương Nguyên đã chứng minh $N = p + P_4$ năm 1956 cùng $N = p + P_3$ năm 1962 dưới GRH bằng sàng có trọng số của Kuhn. Bước đột phá xuất hiện cùng định lý Bombieri–Vinogradov (1965), vốn thiết lập mức phân bố trung bình vô điều kiện $D = N^{1/2 - \varepsilon}$ cho số nguyên tố trong cấp số cộng, cho phép A. I. Vinogradov, M. B. Barban và Phan Thừa Động đưa $N = p + P_3$ thành kết quả vô điều kiện.

Việc vươn tới $K = 2$ từng tưởng như bị chặn bởi tính chẵn lẻ, bởi sàng tuyến tính không thể khử các ứng viên có ba thừa số nguyên tố mà không triệt tiêu chặn dưới. Trần Cảnh Nhuận đã vượt qua rào cản này không phải bằng cách phá vỡ trực diện hiện tượng chẵn lẻ, mà bằng việc thiết lập một bộ phát hiện có trọng số cho $\Omega(N-p) \le 2$. Thay vì chỉ dựa vào một sàng chặn dưới, Chen đã kết hợp sàng tuyến tính chặn dưới với một đánh giá chặn trên khéo léo cho các ngoại lệ có ba thừa số nguyên tố, đi vòng qua hoàn toàn vật cản chẵn lẻ.