Lời giải: Khép kín khoảng trống: giả thuyết Goldbach ba phần, vô điều kiện (Helfgott, 2013)

Chứng minh năm 1937 của Vinogradov cho thấy số biểu diễn có trọng số $R(n)$ ở bước tiếp theo là dương với mọi $n$ lẻ đủ lớn, nhưng 'đủ lớn' không thể tính được từ lập luận: các ước lượng trên cung chính phải tính đến khả năng tồn tại một không điểm thực ngoại lệ của hàm $L$ Dirichlet $L(s,\chi)$, và định lý Siegel chỉ giữ không điểm đó cách xa $s = 1$ với một hằng số không hiệu quả. Việc làm cho ngưỡng trở nên hiệu quả rồi nhỏ dần mất nhiều thập kỷ: Borozdkin đưa ra cận tính được đầu tiên nhưng lớn vô lý, và kết quả sắc nhất trước Helfgott, của Liu và Wang (2002), đòi $n > e^{3100} \approx 10^{1346}$ — chính hằng số cỡ $10^{1300}$ được ghi trong công thức.

Một ngưỡng cỡ đó mãi mãi nằm ngoài khả năng liệt kê, nên chương trình của Helfgott (các preprint arXiv:1205.5252, 1305.2897 và 1305.3062, tổng hợp trong arXiv:1312.7748) mang tính định lượng ngay từ đầu: làm lại toàn bộ phương pháp vòng tròn với mọi hằng số ẩn được thay bằng hằng số tường minh có độ lớn vừa phải, để ranh giới giữa 'chứng minh bằng giải tích' và 'kiểm tra bằng số' rơi vào khoảng $10^{27}$–$10^{30}$ thay vì $10^{1346}$. Ba thành phần tạo nên bước tiến này, mỗi bước sau một thành phần: tiệm cận tường minh trên cung chính dựa trên dữ liệu tính toán về các không điểm của $L(s,\chi)$; các chặn cung phụ cho $S(\alpha)$ không mất thêm nhân tử logarit; và một phép xác minh bằng máy tính được thiết kế để vượt xa ngưỡng giải tích.

Vì vậy chứng minh gồm hai nửa được xây dựng để chồng lấn: máy móc giải tích phải phủ mọi số lẻ $n \ge 10^{27}$, còn phép tính riêng phải phủ $5 < n \le 10^{27}$ với dư địa rộng. Việc hai nửa thực sự gặp nhau — với khoảng dư lớn — là nội dung của bước cuối.