Lời giải: Bất biến Dehn: tứ diện và hình lập phương không đồng dạng kéo cắt (1900)

Một tập hữu hạn các đa giác $P, Q$ được gọi là đồng dạng kéo cắt nếu $P$ có thể được cắt bằng các đoạn thẳng thành hữu hạn mảnh đa giác có thể sắp xếp lại (bằng các phép dời hình) để lát khít $Q$. Định lý Wallace–Bolyai–Gerwien (về cơ bản hoàn chỉnh vào năm 1833, qua công trình độc lập của William Wallace, Farkas Bolyai, và Paul Gerwien) chỉ ra điều này xảy ra khi và chỉ khi $P$ và $Q$ có cùng diện tích: bất kỳ đa giác nào cũng có thể được tam giác hóa, mỗi tam giác cắt thành một hình chữ nhật, và các hình chữ nhật có cùng tổng diện tích được ghép rồi cắt lại thành bất kỳ hình đích nào.

Bài toán thứ ba của Hilbert, đặt ra tại Đại hội Toán học Quốc tế năm 1900 ở Paris, hỏi về tương tự ba chiều: liệu có thể tích bằng nhau có đủ để hai khối đa diện đồng dạng kéo cắt (cắt được thành hữu hạn mảnh đa diện ghép lại bằng phép dời hình) hay không? Hilbert phỏng đoán câu trả lời là không và gợi ý rằng một chứng minh chặt chẽ sẽ cần chỉ ra một bất biến bổ sung nào đó, ngoài thể tích, mà phép phân cắt không thể thay đổi — chính là chiến lược mà học trò của ông, Max Dehn, thực hiện ngay trong cùng năm đó.

Phần còn lại của chứng minh này dựng bất biến Dehn (Bước 2), chứng minh nó không đổi qua phép cắt và ghép lại (Bước 3), và tính nó trên hai khối cụ thể có cùng thể tích — một hình lập phương và một tứ diện đều — để chỉ ra chúng khác nhau (Bước 4–6), cho bài toán của Hilbert một câu trả lời phủ định dứt khoát (Bước 6), cùng với việc Sydler hoàn thiện bức tranh năm 1965 ở Bước 7.