Lời giải: Trường hợp phẳng: mọi tập Kakeya trong $\mathbb{R}^2$ đều có số chiều 2 (Davies, 1971)

Besicovitch (1919) dựng một tập compact $E\subset\mathbb{R}^2$ có độ đo Lebesgue bằng không nhưng chứa một đoạn đơn vị theo mọi phương. Cấu hình — 'cây Perron', trượt các tam giác để các bản sao chồng lên mạnh — cho thấy kết luận độ đo không vẫn đúng ngay cả với tập mà một đoạn đơn vị quay liên tục qua mọi phương (bài toán kim Kakeya gốc).

Độ đo không nghĩa là: với mọi $\epsilon>0$, $E$ được phủ bởi các đĩa có tổng diện tích $<\epsilon$. Thế mà $E$ chứa vô hạn không đếm được đoạn dài đủ. Vậy độ đo Lebesgue hai chiều — thước đo ngây thơ cho 'tập chiếm bao nhiêu chỗ' — hoàn toàn không ghi nhận cấu trúc buộc mọi phương phải có mặt. Đây chính là nghịch lý làm bài toán thú vị: tập vừa không đáng kể (về diện tích) vừa cực đại (về nội dung phương).

Lối thoát là đổi bất biến chứ không đổi câu hỏi. Chiều Hausdorff và Minkowski đo cách số phủ tăng theo độ phân giải chứ không đo diện tích thô, nên một tập độ đo không vẫn có thể bị ép chiều đầy $2$. Định lý Davies đúng là phát biểu đó; phần còn lại của chứng minh dựng máy móc (rời rạc hóa ống, kiểm soát chồng lấn, Cauchy–Schwarz) để nó thành định lượng.