Lời giải: Chứng minh giả thuyết Ringel bằng cây cầu vồng (2020)

Giả thuyết đòi một phân rã cạnh chính xác: vì cây $T$ có $n$ cạnh thì có $n+1$ đỉnh còn $K_{2n+1}$ có $n(2n+1)$ cạnh, tích $n \cdot (2n+1)$ khớp đúng, nên một phân rã phải dùng đúng $2n+1$ bản sao của $T$, mỗi cạnh của $K_{2n+1}$ được phủ một lần. Montgomery, Pokrovskiy và Sudakov (Geom. Funct. Anal. 2021, Định lý 1.2) chứng minh điều này cho mọi $n$ đủ lớn, không đặt hạn chế nào lên hình dáng hay bậc cực đại của $T$.

Kết quả đứng trên một chuỗi dài câu trả lời từng phần mà phần mở đầu của bài khảo sát: giả thuyết Ringel trước đó đã biết cho các họ đặc biệt (đường đi và sao từ cổ điển; caterpillar, cây có tối đa $4$ lá, và cây bậc chặn qua công trình của Joos, Kim, Kühn và Osthus), trong khi Ferber–Samotij và Adamaszek–Allen–Grosu–Hladký chứng minh các bản xấp xỉ phủ gần hết $K_{2n+1}$ cho cây bậc cực đại $O(n/\log n)$. Điều còn mở — và làm giả thuyết khó — là sự hợp nhất của các thái cực: cây vừa thưa, vừa có dãy bậc tuỳ ý, vừa không đồng nhất về cấu trúc.

Chứng minh không phân rã $K_{2n+1}$ trực tiếp. Thay vào đó nó chứng minh một phát biểu mạnh hơn, thoạt nhìn không liên quan — mọi phép tô màu cạnh của $K_{2n+1}$ theo khoảng cách vòng đều chứa một bản sao cầu vồng của $T$ (bước tiếp) — rồi suy ra phân rã như hệ quả, cho mọi $n$ đủ lớn.