Lời giải: Tính tự đẳng cấu tiềm năng của các lũy thừa đối xứng chứng minh giả thuyết Sato–Tate (2011)

Với một đường cong elliptic $E/\mathbb{Q}$ và một số nguyên tố $p$ có rút gọn tốt, định lý Hasse (1933) cho $|a_p|\le 2\sqrt p$ đối với vết Frobenius $a_p = p+1-\#E(\mathbb{F}_p)$, nên tồn tại một góc duy nhất $\theta_p\in[0,\pi]$ thỏa $a_p = 2\sqrt p\,\cos\theta_p$ — các giá trị riêng của Frobenius trên $H^1$ là $\sqrt p\,e^{\pm i\theta_p}$. Giả thiết 'không-CM' rất quan trọng: với các đường cong có nhân phức, phân phối được chứng minh là khác (một hỗn hợp của phần đều và phần rời rạc), nên phỏng đoán được phát biểu chính xác cho các $E$ không-CM.

Khoảng năm 1960, Mikio Sato (bằng tính toán số) và John Tate (bằng lý thuyết, qua các chu trình đại số) phỏng đoán rằng các góc $\theta_p$ phân bố đều theo độ đo $\frac{2}{\pi}\sin^2\theta\,d\theta$ trên $[0,\pi]$. Đây là đẩy xuôi của độ đo Haar trên $\mathrm{SU}(2)$ xuống các lớp liên hợp — dấu hiệu 'ma trận ngẫu nhiên' cho thấy các lớp liên hợp Frobenius trong biểu diễn $\ell$-adic $\rho_{E,\ell}:\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to\mathrm{GL}_2$ hành xử như một họ ngẫu nhiên cực đại trong một nhóm unita compact.

Phát biểu mang tính thống kê: nó nói về phân phối của vô hạn số riêng lẻ $a_p$, chứ không phải một số cụ thể nào. Toàn bộ khó khăn là chuyển phát biểu đếm này thành một phát biểu giải tích về các hàm — sự chuyển đổi được thực hiện bởi tiêu chuẩn Serre ở bước tiếp theo.