Lời giải: Sàng đa chiều của Maynard: khoảng cách bị chặn giữa các số nguyên tố (2013)

Bước 1 trên 8: Mục tiêu: khoảng cách nguyên tố bị chặn, sau đột phá của Zhang năm 2013

Hiểu nôm na

Số nguyên tố thưa dần khi số càng lớn, nên khoảng cách trung bình giữa hai số nguyên tố liên tiếp gần $x$ vào cỡ $\log x$ , một đại lượng tăng không bị chặn. Thế nhưng các nhà lý thuyết số từ lâu đã ngờ rằng dù đi xa đến đâu, vẫn có vô hạn cặp số nguyên tố liên tiếp cách nhau không quá một khoảng cách cố định nào đó, dù khoảng cách đó có lớn.

Tháng 5 năm 2013, Yitang Zhang gây chấn động giới toán học khi lần đầu tiên chứng minh chính xác điều này, với một hằng số cụ thể tuy rất lớn: $\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n) \le 70{,}000{,}000$ . Mục tiêu của James Maynard, đạt được độc lập chỉ vài tháng sau, là tìm một chặn nhỏ hơn nhiều và thuyết phục hơn, chỉ dùng các công cụ cổ điển đã có từ trước.

\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n) \le 70{,}000{,}000

Phân tích chi tiết

Bài báo Small gaps between primes của Maynard năm 2013 (arXiv:1311.4600, Annals of Mathematics 2015) mở đầu bằng khái niệm tập hợp chấp nhận được: một tập hữu hạn các số nguyên không âm $\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}$ được gọi là chấp nhận được nếu với mọi số nguyên tố $p$ , có một lớp thặng dư $a_p$ bị mọi phép dịch bỏ qua, tức $a_p\not\equiv h_i \pmod{p}$ với mọi $i$ (Maynard 2013, Mục 1). Giả thuyết bộ $k$ số nguyên tố dự đoán rằng với mọi $\mathcal{H}$ chấp nhận được, có vô hạn $n$ sao cho tất cả $n+h_1,\dots,n+h_k$ đồng thời là số nguyên tố; giả thuyết này hoàn toàn còn mở với $k>1$ .

Goldston, Pintz và Yıldırım (GPY) đã chỉ ra năm 2005 rằng một tổng kiểu sàng khống chế câu hỏi này, chứng minh không điều kiện rằng $\liminf_n (p_{n+1}-p_n)/\log p_n=0$ : vô hạn lần khoảng cách chỉ là một phần vô cùng nhỏ của khoảng cách trung bình $\log p_n$ , dù chưa thực sự bị chặn. Đột phá của Zhang đã vượt qua một rào cản kỹ thuật của phương pháp GPY liên quan tới việc số nguyên tố phân bố đều tới đâu trong các cấp số cộng, nhờ các ước lượng mới, và thu được khoảng cách thực sự bị chặn đầu tiên (Maynard 2013, Mục 1, công thức 1.2).

Bài báo của Maynard đi theo hướng khác: thay vì đuổi theo ước lượng khó của Zhang, nó cải tiến chính bản thân sàng để định lý Bombieri–Vinogradov cổ điển đã đủ dùng — và cho một chặn tốt hơn nhiều. Các bước còn lại sẽ đi qua sự cải tiến đó, kết thúc bằng $\liminf_n(p_{n+1}-p_n)\le 600$ chỉ từ đầu vào cổ điển (Maynard 2013, Định lý 1.3).

Thuật ngữ trong bước này

Tập chấp nhận được (bộ $k$ số): Một tập hữu hạn các độ dịch $\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}$ mà với mọi số nguyên tố $p$ , không phủ hết mọi lớp thặng dư mod $p$ — nên không có rào cản cục bộ thuần túy nào ngăn $n+h_1,\dots,n+h_k$ đồng thời là số nguyên tố.
Giả thuyết bộ $k$ số nguyên tố: Giả thuyết cho rằng mọi tập chấp nhận được $\mathcal{H}$ cỡ $k$ đều được hiện thực hóa vô hạn lần, tức $n+h_1,\dots,n+h_k$ đều là số nguyên tố với vô hạn $n$ . Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi là trường hợp $k=2$ , $\mathcal{H}=\{0,2\}$ .

Kiến thức dùng ở bước này

Khoảng cách bị chặn giữa các số nguyên tố (Zhang, Maynard)