解法：旺泽尔给出的倍立方问题代数不可能性证明(1837年)

提洛问题要求用尺规从单位线段出发,作出体积为单位立方体两倍的立方体的棱 $x$:条件 $x^3 = 2$ 迫使 $x = \sqrt[3]{2}$,即 $P(x) = x^3 - 2$ 的一个根。此问题在公元前5世纪就已古老:希俄斯的希波克拉底将其归结为在 $1$ 与 $2$ 之间插入两个比例中项——长度 $x, y$ 满足 $1/x = x/y = y/2$,代数上即 $x^2 = y$ 且 $y^2 = 2x$,从而 $x^4 = 2x$,进而 $x^3 = 2$。

这一归结很重要,因为它表明提洛问题实际上是关于单个实数之地位的问题,而非一般几何问题:一切取决于特定长度 $\sqrt[3]{2}$ 能否用两件古典工具作出。旺泽尔1837年发表于刘维尔期刊的论文用与他在同一篇论文中处理三等分角相同的方法作答——把可作图性翻译成关于次数的代数条件,再检查所需之数是否满足它。

后续步骤执行这一方案:第1步证明一般判据——每个可作图数在 $\mathbb{Q}$ 上的次数是 $2$ 的幂;第2步表明 $x^3 - 2$ 不可约,故 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3$;第3步让这两个事实碰撞。这是旺泽尔两个古典不可能性证明中更紧凑的一个,因为只有单个数需要检验。