解法：康–凯利–库恩–梅苏库–奥斯图斯基于迭代吸收法的渐近证明(2021年)

Kang、Kelly、Kühn、Methuku 与 Osthus(2023,第1.1节)从 Erdős、Faber 与 Lovász 在1972年提出的三个等价表述出发。论文始终采用的是超图形式:$n$ 个顶点上的任意线性超图 $\mathcal{H}$ —— 即任意两条不同的边满足 $|e \cap f| \le 1$ —— 其边色数满足 $\chi'(\mathcal{H}) \le n$,其中 $\chi'(\mathcal{H})$ 是给边染色、使相交边颜色不同所需的最少颜色数。第二种形式是点染色:若图 $G$ 是 $n$ 个团的并,每个团至多 $n$ 个顶点且两两至多共享一个顶点,则 $\chi(G) \le n$。第三种是最初的集合形式:给定 $n$ 个大小为 $n$、两两交集至多 $1$ 个元素的集合,可以用 $n$ 种颜色给元素染色,使每个集合都是彩虹的(元素颜色两两不同)。

等价性纯粹是配对的。$\mathcal{H}$ 的正常边染色正是其线图 $L(\mathcal{H})$ 的正常点染色:$\mathcal{H}$ 中每个顶点 $v$ 在含 $v$ 的边上诱导一个团,而线性恰好就是"至多共享一个顶点"这一假设。集合关联矩阵的转置把集合表述与团表述互换。因此证明中所有定量推理都在 $\mathcal{H}$ 上进行,其次数与共次数数据驱动着 nibble 机制。

上界 $n$ 是必需的,且由第1.1节回顾的三类本质不同的极值例子见证:$n$ 为奇数的完全图 $K_n$,其线图为 $n$-色;"近铅笔"构型,一条边含 $n-1$ 个顶点,另有 $n-1$ 条边经过它缺失的那个顶点;以及有限射影平面,约 $n$ 条两两相交、大小约 $\sqrt{n}$ 的边。这些极值族在全文反复出现,正是那些毫无松动的情形。