解法：平面情形:$\mathbb{R}^2$ 中每个挂谷集的维数均为2(戴维斯,1971年)

Besicovitch (1919) 构造了紧集 $E\subset\mathbb{R}^2$：Lebesgue 测度为零却包含每个方向的单位线段。该构造 —— “Perron 树”，滑动三角形使副本大量重叠 —— 表明即使对单位线段连续扫过所有方向的集合（Kakeya 原始针问题），零测度结论依然成立。

测度为零意味着：对每个 $\epsilon>0$，$E$ 可被总面积 $<\epsilon$ 的圆盘覆盖。然而 $E$ 含不可数个全长线段。于是二维 Lebesgue 测度 —— “集合占多少地方”的朴素量尺 —— 完全无法记录强制每个方向存在的结构。这正是让问题有趣的悖论：集合在面积上可忽略，在方向内容上却极大。

出路是换不变量而非换问题。Hausdorff 与 Minkowski 维数度量覆盖数随分辨率的缩放而非裸面积，故零测集仍可能被迫具有满维数 $2$。Davies 定理正是此断言；证明其余部分搭建使其定量化的机器（管的离散化、重叠控制、Cauchy–Schwarz）。