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ステップ 1/6: 一つの面に穴を開けて多面体を平面上に広げる
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ざっくり言うと

一つの面を取り除き、残りの表面を位相的な円板とみなす。その頂点と辺の接続関係を保ったまま、交差なしに平面へ描き直せる。これは平面埋め込みであり、すべての物理的な展開図を重なりなく平らに置けるという主張ではない。

Vgraph=V,Egraph=E,Fgraph=(F−1)+1=FV_{\text{graph}} = V, \quad E_{\text{graph}} = E, \quad F_{\text{graph}} = (F-1) + 1 = F
取り除く前に一つの面を印付けた立方体
立方体を三次元で描き、一つの正方形の面を陰影で示して、それが残りの表面を平面グラフに広げるために取り除かれる面であることを示したもの。
詳しい解説

凸多面体の面を一つ選んで取り除き、残りの表面を開いた網のように平面上に平らに広げる。これができるのは、凸多面体の表面が位相的に球面であるため、面を一つ取り除くと残りが円板になり、辺同士が交差することなく平らに広げられるからである。その結果得られるのは、多面体とまったく同じ頂点 VV と辺 EE を持つ連結な平面グラフである。残った F−1F-1 個の面はグラフの F−1F-1 個の有界な領域になり、取り除いた面はただ一つの非有界な外側の領域になるので、グラフの面の総数は依然として FF である。

このステップの用語
平面グラフ
平面上に、どの二本の辺も交差しないように描くことができるグラフ(頂点を辺でつないだもの)のこと。
位相的な球面
(切ったり貼ったりせずに)連続的に伸縮・変形させて普通の丸い球面にできる曲面のこと。立方体の表面はこれに該当するが、ドーナツの表面は該当しない。
このステップで使う知識
多面体とその体積平面グラフ
よくある間違い. この平らに広げる操作には、多面体の表面が位相的に球面であることが必要である。穴が貫通した多面体——ラカトシュの有名な「額縁」の反例——では、面を一つ取り除いても辺が交差せずに平らに広げられる表面は残らず、実際その形では V−E+F=0V - E + F = 0 であり、22 ではない。