Phân số và số thập phân

So sánh trực tiếp hai phân số khá bất tiện vì chúng có thể viết với mẫu số khác nhau; nhân qua cả hai mẫu số sẽ khử phân số và biến việc so sánh thành một đẳng thức số nguyên bình thường.

Chiều 1 ($\Rightarrow$). Giả sử $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$. Vì $b,d\neq0$, ta nhân cả hai vế với số khác không $bd$: $\frac{a}{b}\cdot bd = \frac{c}{d}\cdot bd$. Vế trái, $\frac{a}{b}\cdot bd = a\cdot d$ vì nhân tử $b$ triệt tiêu; vế phải, $\frac{c}{d}\cdot bd = c\cdot b$ vì nhân tử $d$ triệt tiêu. Vậy $ad=bc$.

Chiều 2 ($\Leftarrow$). Giả sử $ad=bc$. Chia cả hai vế cho số khác không $bd$: $\dfrac{ad}{bd}=\dfrac{bc}{bd}$. Rút gọn nhân tử chung $d$ ở phân số bên trái và nhân tử chung $b$ ở phân số bên phải: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$.

Cả hai chiều đều đúng nên hai phát biểu tương đương: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ đúng khi và chỉ khi $ad=bc$.

Vị trí hàng thập phân được xây dựng từ các lũy thừa của $10=2\times5$. Một phân số có thể viết lại với mẫu số là một lũy thừa của $10$ đúng khi các thừa số nguyên tố duy nhất của mẫu số là $2$ và $5$ — bất kỳ thừa số nguyên tố nào khác không bao giờ có thể "hòa tan" vào một lũy thừa của $10$.

($\Leftarrow$) Giả sử $b=2^m5^n$. Đặt $k=\max(m,n)$. Nhân cả tử và mẫu với $2^{k-n}5^{k-m}$ (cả hai số mũ đều $\ge0$ vì $k$ là giá trị lớn nhất): $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot2^{k-n}5^{k-m}}{2^m5^n\cdot2^{k-n}5^{k-m}}=\dfrac{a\cdot2^{k-n}5^{k-m}}{2^k5^k}=\dfrac{N}{10^k}$, với $N=a\cdot2^{k-n}5^{k-m}$ là số nguyên. Viết $N$ bằng các chữ số thông thường rồi đặt dấu phẩy thập phân cách $k$ chữ số từ bên phải (thêm chữ số không ở đầu nếu $N$ có ít hơn $k$ chữ số) cho đúng biểu diễn thập phân của $\frac{a}{b}$, và nó dừng sau nhiều nhất $k$ chữ số: nó hữu hạn.

($\Rightarrow$) Giả sử $\frac{a}{b}$ hữu hạn sau $k$ chữ số thập phân, tức $\dfrac{a}{b}=\dfrac{N}{10^k}$ với số nguyên $N$ nào đó. Nhân chéo (Định lý 1 ở trên): $a\cdot10^k = b\cdot N$, nên $b$ chia hết $a\cdot10^k$. Vì $\frac{a}{b}$ tối giản, $\gcd(a,b)=1$, nghĩa là $b$ không chung thừa số nguyên tố nào với $a$; do đó mọi thừa số nguyên tố $p$ của $b$ không thể chia hết $a$, và vì $p$ chia hết $a\cdot10^k$ nên nó phải chia hết $10^k$. Nhưng $10^k=2^k5^k$, chỉ có thừa số nguyên tố $2$ và $5$. Vậy mọi thừa số nguyên tố của $b$ là $2$ hoặc $5$, tức $b=2^m5^n$ với $m,n\ge0$ nào đó.