Lời giải: Chứng minh bằng tích phân bội của Beukers–Calabi–Kolk (1993)

Viết $\zeta(2)=\sum_{n\ \mathrm{odd}}\frac{1}{n^2}+\sum_{n\ \mathrm{even}}\frac{1}{n^2}$. Đặt $n=2m$ trong phần chẵn cho $\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(2m)^2}=\frac{1}{4}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^2}=\frac{1}{4}\zeta(2)$: phần đuôi ứng với chỉ số chẵn là một bản sao co tỉ lệ của chính chuỗi cần tính. Chuyển vế cho $\zeta(2)-\frac{1}{4}\zeta(2)=\frac{3}{4}\zeta(2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}$, suy ra $\zeta(2)=\frac{4}{3}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}$.

Phép tách chẵn–lẻ này, được dùng trong bài báo Beukers–Calabi–Kolk và các công trình trước đó, là thứ làm cho phần còn lại của chứng minh khả thi: mẫu số $1-x^2y^2$ xuất hiện ở Bước 2 khai triển thành chuỗi hình học theo $(xy)^2$, mà các lũy thừa của nó đúng là các đơn thức chẵn $x^{2k}y^{2k}$ cần thiết để sinh ra các mẫu lẻ $(2k+1)^2$ sau khi lấy tích phân. Với mọi bình phương ta sẽ cần mẫu $1-xy$, dẫn tới một tích phân kỳ dị khó hơn hẳn.

Phép tách này là một đồng nhất đại số, không phải xấp xỉ, và có thể đảo ngược — biết tổng theo bình phương lẻ tương đương với biết chính $\zeta(2)$.