Lời giải: Đơn hình phi tuần hoàn của Smith–Myers–Kaplan–Goodman-Strauss: hat và Spectre (2023)

Bước 1 trên 8: "Hat": một đa hình 13 cạnh ghép từ tám kite

Hiểu nôm na

Hãy lấy một phép lát mặt phẳng chuẩn được tạo từ các hình kite giống hệt nhau — tứ giác trông giống những con diều giấy trẻ em thả — sắp xếp $4$ hình quanh mỗi đỉnh theo một mẫu lặp lại. Bây giờ dán đúng tám hình kite này lại với nhau, theo một mẫu cụ thể, thành một đường viền $13$ cạnh duy nhất. Mảnh ghép đó chính là "hat".

Điều bất ngờ là hình dạng khiêm tốn này có thể lát kín toàn bộ mặt phẳng vô hạn mà không có khe hở hay chồng lấn, nhưng nó không bao giờ có thể làm vậy theo cách lặp lại bằng cách trượt — dù sắp xếp các bản sao của nó thế nào, mẫu hình không bao giờ có đối xứng tịnh tiến.

T_{\text{hat}} = K_1 \cup K_2 \cup \cdots \cup K_8 \quad (\text{kites from the } [3.4.6.4] \text{ Laves tiling})

Phân tích chi tiết

Hat là một polykite: biên của nó là hợp các cạnh của các viên hình cánh diều trong lát Laves $[3.4.6.4]$ (đối ngẫu của lát Archimedes $(3.4.6.4)$ , trong đó mỗi đỉnh được bao bởi một tam giác, hai hình vuông và một lục giác). Tám cánh diều ghép thành hình $13$ cạnh, thẳng hàng với lưới $60^\circ$ , $T_{\text{hat}} = K_1 \cup \cdots \cup K_8$ ; mọi phương cạnh của nó nằm trong $12$ phương của lưới tam giác, điều làm cho các phép lát của nó phân tích được bằng tổ hợp thay vì độ metric.

Phát hiện là thực nghiệm trước khi chặt chẽ: David Smith sinh các mảng lớn bằng phần mềm lát polyform của Myers và chương trình số Heesch của Kaplan. Một viên không lát được mặt phẳng có số Heesch hữu hạn (số vành đai đồng tâm nó chịu được); các mảng của hat đã vượt kỷ lục cũ $6$ vành, và ép lát tuần hoàn sẽ đòi số isohedral ít nhất $64$ — mỗi quan sát riêng lẻ đã báo hiệu một viên phi thường.

Mọi điều chứng minh về hat đều tương đối với quy ước lát được dùng: viên có thể quay, tịnh tiến và phản chiếu. Chứng minh sau đây tách thành một lập luận hình học rằng không có phép lát tuần hoàn (Bước 3), và một lập luận thay-thế-phân-tầng rằng phép lát tồn tại và bị ép vào cấu trúc không lặp duy nhất (Bước 4–6); hai nửa độc lập logic.

Thuật ngữ trong bước này

Đa hình kite (polykite): Một hình được tạo bằng cách dán lại với nhau nhiều bản sao của một hình kite (tứ giác có hai cặp cạnh kề bằng nhau) từ một phép lát kite cố định, khớp cạnh với cạnh.
Số Heesch và số isohedral: Số Heesch của một hình là số vòng đồng tâm đầy đủ tối đa gồm các bản sao có thể bao quanh nó mà không có khe hở (vô hạn nếu nó lát kín mặt phẳng); số isohedral của một phép lát là số lớp quỹ đạo nhỏ nhất mà các ô của nó rơi vào dưới các đối xứng của phép lát.

Kiến thức dùng ở bước này

Phép biến hình