Lời giải: Chứng minh của Marcus–Spielman–Srivastava bằng các họ xen kẽ (2013)

Câu hỏi năm 1959 của Kadison và Singer nói về các trạng thái: một trạng thái thuần nhất trên đại số đường chéo $D \cong \ell^\infty$ bên trong $B(\ell^2)$ được xác định bởi một siêu lọc trên $\mathbb{N}$, và câu hỏi là liệu mở rộng của nó bằng Hahn–Banach thành trạng thái thuần nhất trên toàn bộ $B(\ell^2)$ có buộc phải duy nhất. Giả thiết $\sum_i v_i v_i^* = I_d$ trong $KS_2$ của Weaver là bóng hữu hạn chiều của một phân tích frame chặt của ánh xạ đồng nhất, còn $\|v_i\|^2 \le \delta$ là điều kiện nhỏ thay thế cho "đường chéo là khuếch tán": không vector nào mang một phần lớn của $I_d$.

Định lý năm 2004 của Weaver (Discrete Mathematics 278) quy bài toán đại số toán tử về một họ đếm được các phát biểu paving hữu hạn chiều, trong đó $KS_2$ là dạng sắc nhất: chia tập chỉ số thành $S_1, S_2$ sao cho cả hai chuẩn toán tử $\|\sum_{i \in S_j} v_i v_i^*\|$ đều nhỏ hơn hẳn $1$. Hằng số có ý nghĩa định lượng chứ không chỉ định tính — chặn $(1+\sqrt{2\delta})^2/2$ là thứ chứng minh cuối cùng mang lại, và nó $< 1$ đúng là nhờ $\|v_i\|^2 \le \delta$ cho phép $\delta \to 0$ khi cần (bằng cách chia nhỏ frame trước).

Phần còn lại của chứng minh không bao giờ động lại tới $\ell^2$ hay $B(\ell^2)$. Mỗi bước chỉ thao tác trên hữu hạn vector $v_i$ và các ma trận hạng một $v_i v_i^*$: đây là lý do một lập luận bằng phương pháp đa thức có thể giải quyết một bài toán vốn sinh ra trong lý thuyết $C^*$-đại số.