Lời giải: Chứng minh giả thuyết Haken ảo của Agol qua phức lập phương (2012)

Giả thuyết Haken ảo của Waldhausen hỏi liệu mọi đa tạp 3 chiều hyperbolic đóng $M$ có một phủ hữu hạn tầng $\tilde M$ là Haken, nghĩa là $\tilde M$ chứa một mặt nhúng, $\pi_1$-đơn ánh (không nén được) (Agol 2012, Định lý 9.1, giải quyết câu hỏi của Waldhausen năm 1968).

Chiến lược của Agol chạy qua một phát biểu thuần túy lý thuyết nhóm, Định lý 1.1 chính của ông: mọi nhóm hyperbolic-từ $G$ tác động chính xác và cocompact lên một phức lập phương CAT(0) $X$ đều có một nhóm con chỉ số hữu hạn tác động đặc biệt lên $X$ (§1). Biến câu hỏi tô pô thành câu hỏi đại số này là điều cho phép chứng minh dùng các kỹ thuật tổ hợp (tường, siêu phẳng, tô màu) không có tương tự rõ ràng trong tô pô đa tạp 3 chiều.

Các bước còn lại ráp hai nửa cần thiết để áp dụng định lý này cho một đa tạp 3 chiều hyperbolic: trước tiên, dựng một phức lập phương thích hợp mà $\pi_1(M)$ tác động lên (qua các mặt Kahn–Markovic và một cấu trúc của Sageev), rồi áp dụng chính định lý phức lập phương.