解法：史密斯–迈尔斯–卡普兰–古德曼-施特劳斯的非周期单块瓷砖:hat 与 Spectre(2023年)
通俗地说
考虑一种由完全相同的风筝形(四边形,形状类似孩子放的纸风筝)构成的标准平面镶嵌,每个顶点周围按重复图案排列 个风筝形。现在按特定方式把恰好八个这样的风筝形粘合成一个单一的 边轮廓,这个粘合而成的图形就是“hat”。
令人惊讶的是,这个看起来平平无奇的单一图形能够毫无缝隙、毫无重叠地铺满整个无限平面,但无论如何排列它的副本,都绝不可能通过平移使图案重复——它永远不具有平移对称性。
详细分析
2023年3月,大卫·史密斯(一位业余镶嵌爱好者)发现了“hat”,一个由取自拉夫斯 镶嵌(阿基米德 镶嵌的对偶)的八块风筝形拼成的 边多边形。他与约瑟夫·塞缪尔·迈尔斯、克雷格·卡普兰及查伊姆·古德曼-施特劳斯共同猜测它可以铺满平面,但只能以非周期方式。
在任何证明出现之前,史密斯最初的计算机实验(使用卡普兰的希施数软件与迈尔斯的多形镶嵌软件)就已经显示出非同寻常的结果:如果 hat 不能铺满平面,它的希施数至少要达到 ——远超此前 的纪录;如果它只能周期性铺满,它的等边数至少要达到 。这两种结果单独任何一个都会是重大发现,这正是促使团队认为这个形状值得给出完整证明的原因。
这份证明接下来的部分将走过两个独立的论证(Smith, Myers, Kaplan & Goodman-Strauss 2023年论文的第3节及第4–5节),彻底解决这个问题:hat 能够铺满平面,且没有一种铺法是周期性的。
- 多风筝形(polykite)
- 由固定的风筝形镶嵌中若干个风筝形(两对相邻边分别相等的四边形)沿边拼接而成的图形。
- 希施数与等边数(isohedral number)
- 一个形状的希施数,是能够无缝围绕它的完整同心圈副本的最大数目(若它能铺满平面则为无穷大);一个镶嵌的等边数,是在该镶嵌对称群作用下其瓷砖所分成的最少轨道类数目。