解法: 多項式法によるキャップ集合問題の解決(クロート=レフ=パック、エレンバーグ=ハイスヴァイト、2016年)

キャップ集合とは部分集合 $A\subset\mathbb{F}_3^n$ で、$x+y+z=0$ を満たす相異なる3点 $x,y,z\in A$ を持たないもの。標数3では $-x=x+x$ が成り立つので、これは $3$ つの相異なる元がアフィン直線（すなわち $d\ne0$ の等差数列 $x,x+d,x+2d$）をなさないことと同値。$r_3(\mathbb{F}_3^n)=\max|A|$ と書く。

自明な上界 $|A|\le3^n$ 以外に指数型の結果は長年なかった。Meshulam (1995) が $\mathbb{F}_3^n$ 上のフーリエ解析で $|A|=O(3^n/n)$ を示し、Bateman–Katz (2012) が $O(3^n/n^{1+\epsilon})$ に改良したが、自明な界と多項式因子しか違わなかった。一方、最大の構成例（Edel、Tyrell による改良）は約 $2.2^n$ にすぎず、「成長率は本当に $3$ より小さいか」という定性的な問題すら未解決だった。

Ellenberg–Gijswijt (2017) は、Croot–Lev–Pach (2016) が $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^n$ に対して得た多項式法の突破口を踏まえてこの問題を決着させた：$|A|\le O(c^n)$、ただし $c=3e^{-I(2/3)}\approx2.756$ が明示される。以降の証明はキャップ集合を消点多項式の問題に変換し、次元数え上げに仕事をさせる。