解法: 立方体倍積問題に対するヴァンツェルの代数的不可能性証明(1837年)

デロス問題は、単位線分から出発して、単位立方体の倍の体積を持つ立方体の辺 $x$ を定規とコンパスで作図することを求める。条件 $x^3 = 2$ は $x = \sqrt[3]{2}$ を強制し、これは $P(x) = x^3 - 2$ の根である。この問題は紀元前5世紀にはすでに古かった。キオスのヒッポクラテスはそれを $1$ と $2$ の間に二つの比例中項を挿入する問題へ帰着させた。すなわち $1/x = x/y = y/2$ を満たす長さ $x, y$ を求めることであり、代数的には $x^2 = y$ かつ $y^2 = 2x$、したがって $x^4 = 2x$ そして $x^3 = 2$ を意味する。

この帰着が重要なのは、デロス問題が実際には一つの実数の地位に関する問いであって、幾何学全体の問いではないことを示すからである。すべては、特定の長さ $\sqrt[3]{2}$ が二つの古典的道具で作れるかどうかにかかっている。リウヴィルの雑誌に掲載されたヴァンツェルの1837年の論文は、同じ論文で角の三等分に適用するのと同じ方法でこれに答える。すなわち、作図可能性を代数的な次数の条件に翻訳し、必要な数がそれを満たすかを検査するのである。

残りのステップはこれを実行する。ステップ1は、作図可能な数はすべて $\mathbb{Q}$ 上で $2$ の冪の次数を持つという一般的な判定条件を証明する。ステップ2は $x^3 - 2$ が既約であることを示し、よって $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3$ を得る。ステップ3でこの二つの事実を衝突させる。検査すべき数が一つだけなので、これはヴァンツェルの二つの古典的不可能証明のうち簡潔な方である。